椭圆、双曲线和抛物线常被当作三条互不相关的标准方程。实际上，它们可以被同一个几何条件统一描述。

设动点 $P$ 到定点 $F$ 的距离为 $|PF|$，到定直线 $l$ 的距离为 $d(P,l)$。若

$$ \frac{|PF|}{d(P,l)}=e, $$

其中 $e>0$，那么曲线类型由离心率决定：

  • $0<e<1$：椭圆；
  • $e=1$：抛物线；
  • $e>1$：双曲线。

离心率不是“弯曲程度”的模糊描述

它给出了一个精确的比例：到焦点的距离相对于到准线的距离增长得有多快。

以焦点在横轴上的椭圆为例，标准方程

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

对应焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，于是

$$ e=\frac ca. $$

当 $e$ 接近 $0$ 时，两个焦点彼此靠近，椭圆越来越接近圆；当 $e$ 接近 $1$ 时，曲线拉得越来越长。

方程只是坐标中的一张照片

同一条圆锥曲线在平移或旋转后，方程会改变，但到焦点与准线的距离比不变。这个不变量提醒我们：解析几何不只是计算方程，它也在寻找不依赖坐标摆放方式的几何性质。